Find forskrift for en lineær funktion

Hvis man kender to forskellige punkter \((x_1,y_1)\) og \((x_2,y_2)\) på grafen for en lineær funktion, så er funktionen entydigt bestemt. Det er med andre ord muligt at bestemme en forskrift for en lineær funktion, når vi kender to punkter på grafen. En lineær funktion har jo forskriften \(f(x)=bx^a\), og hvis de to kendte punkter er \((x_1,y_1)\) og \((x_2,y_2)\) så er det muligt at bestemme konstanterne \(a\) og \(b\) ved hjælp af formlerne \[ a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1} \] og \[ b=y_1-ax_1. \]

Beviset benytter vækstformlen for lineære funktioner, der som bekendt siger, at \[ \Delta y=a\cdot\Delta x, \] hvor \(\Delta x=x_2-x_1\) er den absolutte tilvækst i \(x\) og \(\Delta y=y_2-y_1\) er den absolutte tilvækst i \(y\). Da de to punkter er forskellige, er \(x_1\ne x_2\), hvorfor \(\Delta x\ne 0\). Dermed kan vi dividere med \(\Delta x\) på begge sider af lighedstegnet i vækstformlen, hvilket giver \[ a=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}. \] Da punktet \((x_1,y_1)\) ligger på grafen, er \(y_1=ax_1+b\). Ved at trække \(ax_1\) fra på begge sider af lighedstegnet får vi \[ b=y_1-ax_1. \]

Som et eksempel på anvendelse af formlerne ser vi på den lineære funktion, der er bestemt ved at gå gennem punkterne \((-2,3)\) og \((1,-3)\). Når vi sætter ind i formlen for \(a\), får vi \[ a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{(-3)-3}{1-(-2)}=\frac{-6}{3}=-2. \] Dernæst benytter vi formlen for \(b\), hvilket giver \[ b=y_1-ax_1=3-(-2)\cdot(-2)=3-4=-1. \] Dermed har vi vist, at den lineære funktion er givet ved \(y=-2x-1\). Nedenfor ses grafen og de to punkter.

Træningsopgaver

Prøv selv at løse opgaverne nedenfor. Det er muligt at se løsningen fra SpelledOutMath ved at klikke på de enkelte opgaver.