Mængder

Mængdelære er en gren af matematikken, der beskæftiger sig med egenskaber ved veldefinerede samlinger af objekter. Mængdelære er grundlaget for moderne matematik, og begreber fra mængdelære bruges i alle formelle beskrivelser. Alle andre matematiske begreber kan bygges op over begrebet mængder.

En mængde er en samling af veldefinerede “ting” eller “objekter”. I stedet for at tale om en “ting” eller et “objekt” bruger vi ordet element. En mængde indeholder altså et (endeligt eller uendeligt) antal elementer.

For at kunne referere til de mængder, som vi arbejder med, giver vi dem gerne navne som f.eks. \(M\), \(N\), \(A\) og \(B\). Visse vigtige mængder har særlige navne. Det gælder for eksempel for talmængderne. To mængder \(M\) og \(N\) siges at være ens, og vi skriver \(M=N\), hvis de to mængder har de samme elementer.

Der er et symbol for at noget er element i en given mængde. Tegnet \(\in\) betyder “er element i” og læses tilhører. Udtrykket \(a\in A\) læses således \(a\) tilhører \(A\). Hvis \(a\) ikke er element i \(A\), så skriver vi \(a\notin A\), hvilket læses \(a\) tilhører ikke \(A\).

Antallet af elementer i en mængde kan som sagt være endeligt eller uendeligt. Vi taler om henholdsvis en endelig mængde og en uendelig mængde. Eksempler på endelige mængder kunne være mængden af alle elever i en bestemt gymnasieklasse eller mængden af farverne rød, grøn og blå. Et eksempel på en uendelig mængde er mængden af naturlige tal.

Definitionen af en mængde er ret rummelig. Der er således ingen begrænsning på, hvad der kan optræde som element i en mængde. Det kan faktisk være hvad som helst, selv en anden mængde. Der er heller ikke nogen, der siger, at elementerne i en mængde alle skal have samme “type”, selvom dette har været tilfældet i eksemplerne ovenfor.

Der er forskellige måder at specificere en mængde på. For endelige mængder benytter vi ofte såkaldt fuldstændig listeform. Det går ud på at opliste elementerne mellem tuborgparenteser, f.eks. \(\{\)rød, grøn, blå\(\}\). Rækkefølgen af elementer er ikke afgørende. Således er \(\{\)grøn, blå, rød\(\}\) den samme mængde, fordi to mængder er ens, når de har de samme elementer.

Ved uendelige mængder er det naturligvis ikke muligt at anvende fuldstændig listeform, men der er noget, der hedder ufuldstændig listeform, som fungerer på en del uendelige mængder. Det går ud på, at man med prikker signalerer, at der fortsættes på samme måde. For eksempel kan vi skrive mængden af naturlige tal således \[ \{1,2,3,4,5,\dots\} \] og mængden af hele tal kan skrives således \[ \{\dots,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,\dots\}. \]

Der er endnu en måde at specificere en mængde på, som anvendes rigtig meget. Hver gang vi har en mængde \(A\) og en betingelse \(P(x)\), så findes der en mængde, hvis elementer er de elementer \(x\) i \(A\), som opfylder betingelsen \(P(x)\). Denne mængde betegnes med \[ \{x\in A\:|\: P(x)\}. \] Denne konstruktion kaldes mængdebyggeren. Et konkret eksempel kunne være at gå ud fra de naturlige tal (som vi betegner med \(\Bbb{N}\)) og betingelsen \(x<10\). Dette giver mængden \[ \{x\in\Bbb{N}\:|\: x<10\}=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}. \] Den lodrette streg i mængdebyggeren læses for hvilket. Mængden ovenfor læses altså: “De \(x\) i de naturlige tal for hvilket \(x\) er mindre end \(10\)”. Et andet eksempel er at gå ud fra de hele tal (som vi betegner med \(\Bbb{Z}\)) og betingelsen \(x^2=36\), hvilket giver \[ \{x\in\Bbb{Z}\:|\: x^2=36\}=\{-6,6\}. \]

Hvis \(M\) og \(N\) er mængder, og ethvert element i \(M\) også er element i \(N\), så siger vi, at \(M\) er en delmængde af \(N\), og vi skriver \(M\subset N\) (en del danske lærebøger bruger i stedet et af symbolerne \(\subseteq\) eller \(\subseteqq\), men i udlandet er symbolet \(\subset\) fremtrædende, og det er også det, som vi anvender her). Et eksempel på at \(M\subset N\), er for \(M=\{1,4\}\) og \(N=\{1,2,3,4\}\). Det er klart, at hvis mængderne \(M\) og \(N\) både opfylder \(M\subset N\) og \(N\subset M\), så er \(M=N\).

Mængden uden nogen elementer kaldes den tomme mængde. Den kan både betegnes med \(\{\}\) og med \(\emptyset\). Den tomme mængde er en delmængde af enhver anden mængde.

Man illustrerer ofte mængder ved at tegne boller. Lad \[ A=\{3,6,9\} \] \[ B=\{2,3,5,7\} \] \[ C=\{1,4,9\} \] Så kan vi illustrere de tre mængder som vist nedenfor.

Operationer på mængder

Ligesom man har regneoperationer på tal, så er det også muligt at lave operationer mellem mængder.

Hvis vi har to mængder \(A\) og \(B\), så kan vi danne deres fællesmængde, som er mængden betående af de elementer, der er med i både \(A\) og \(B\). Fællesmængden betegnes \(A\cap B\). Hvis vi benytter eksemplet ovenfor, så er \(A\cap B=\{3\}\).

To mængder siges at være disjunkte, hvis deres fællesmængde er tom. I eksemplet ovenfor er \(B\) og \(C\) disjunkte.

Foreningsmængden af to mængder \(A\) og \(B\) består af de elementer, der er med i mindst en af mængderne. Foreningsmængden betegnes \(A\cup B\). I eksemplet ovenfor er \(A\cup B=\{2,3,5,6,7,9\}\).

For to mængder \(A\) og \(B\) kan vi danne mængdedifferensen, betegnet \(A\setminus B\), der består af de elementer i \(A\), der ikke er med i \(B\). I ovenstående eksempel er \(A\setminus B=\{6,9\}\).

Hvis vi bytter om på \(A\) og \(B\), får vi \(B\setminus A=\{2,5,7\}\).

Hvis en mængde \(B\) er indeholdt i en grundmængde \(G\), så kan man tale om \(B\)'s komplementærmængde, der er lig med mængdedifferensen \(G\setminus B\). Komplementærmængden betegnes \(\complement B\).

Det kartesiske produkt af to mængder \(A\) and \(B\), betegnet \(A\times B\), er mængden, hvis elementer er alle ordnede par \((a, b)\), hvor \(a\in A\) og \(b\in B\). Det kartesiske produkt af \(A=\{3,6,9\}\) og \(B=\{2,3,5,7\}\) er \[ \{(3,2),(3,3),(3,5),(3,7),(6,2),(6,3),(6,5),(6,7),(9,2),(9,3),(9,5),(9,7)\}. \]

Talmængder

Vi har tidligere omtalt de naturlige tal \[ \Bbb{N}=\{1,2,3,4,5,\dots\} \] og de hele tal \[ \Bbb{Z}=\{\dots,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,\dots\}. \]

Et tal af formen \(\frac{p}{q}\), hvor \(p\) og \(q\) begge er hele og \(q\ne 0\), kaldes et rationalt tal. Eksempler på rationale tal er \(\frac{2}{3}\) og \(\frac{22}{7}\). Et helt tal er også rationalt. For eksempel er \(-5=\frac{-5}{1}\). Mængden af rationale tal betegnes med \(\Bbb{Q}\).

Der findes tal, som ikke er rationale. Det gælder for eksempel for \(\sqrt{2}\) og for \(\pi\). Tallet \(e\), der er grundtal for den naturlige eksponentialfunktion, er heller ikke rationalt. Mængden af “alle tal” kaldes de reelle tal og betegnes med \(\Bbb{R}\). Et reelt tal, der ikke er rationalt, siges at være et irrationalt tal. Et irrationalt tal er altså et tal, der ikke kan skrives på formen \(\frac{p}{q}\), hvor \(p\) og \(q\) er hele og \(q\) er forskellig fra \(0\). Vi har ofte brug for de reelle tal, som er større end nul. Disse tal kaldes de positive reelle tal og betegnes med \(\Bbb{R}_+\). Tilsvarende betegnes de negative reelle tal med \(\Bbb{R}_-\).

Intervaller

Et begrænset interval er en delmængde af de reelle tal, der består af alle tal mellem to tal \(a\) og \(b\). Vi må naturligvis forudsætte, at \(a\lt b\). De to tal \(a\) og \(b\) kaldes intervallets endepunkter. Vi taler om et åbent interval, hvis ingen af endepunkterne er med i intervallet, om et lukket interval, hvis begge endepunkter er med i intervallet, og om et halvåbent interval, hvis et af endepunkterne er med i intervallet.

Vi opskriver et interval ved at sætte de to endepunkter i firkantede parenteser med et semikolon (eller komma) imellem og det mindste tal til venstre. Afhængig af om endepunkterne er med i intervallet eller ej, vender Den firkantede parentes enten ind mod endepunktet eller væk fra det. Der gælder altså \[ ]a;b[\;=\{x\in\Bbb{R}\:|\: a\lt x\lt b\}, \] \[ [a;b]=\{x\in\Bbb{R}\:|\: a\le x\le b\}, \] \[ ]a;b]=\{x\in\Bbb{R}\:|\: a\lt x\le b\}, \] \[ [a;b[\;=\{x\in\Bbb{R}\:|\: a\le x\lt b\}. \]

Et begrænset interval er begrænset i både venstre og højre side. Et interval siges at være et ubegrænset interval, hvis det er ubegrænset i den ene eller begge sider. Der er fem muligheder, der skrives således: \[ ]a;\infty[\;=\{x\in\Bbb{R}\:|\: x\gt a\}, \] \[ [a;\infty[\;=\{x\in\Bbb{R}\:|\: x\ge a\}, \] \[ ]-\infty;b[\;=\{x\in\Bbb{R}\:|\: x\lt b\}, \] \[ ]-\infty;b]=\{x\in\Bbb{R}\:|\: x\le b\}, \] \[ ]-\infty;\infty[\;=\Bbb{R}. \] Bemærk at den firkantede parentes altid vender bort fra \(-\infty\) og \(\infty\), da \(-\infty\) og \(\infty\) ikke er tal.