Tal og regneregler

Matematik handler om abstraktion. Et af de bedste eksempler på dette er tallene. Vi har alle beskæftiget os med tal, siden vi var helt små, og det betyder, at de flest af os tænker på for eksempel tallet \(3\) som noget forholdsvis konkret. Men i virkeligheden er tallet \(3\) en abstraktion, der måske kan repræsentere tre æbler. Det kan også repræsentere tre fisk eller tre biler. Her er æblerne, fiskene og bilerne konkrete, men tallet \(3\) er en abstraktion. Når det giver mening at indføre tallene, er det fordi man regner på samme måde, uanset om der er tale om æbler, fisk, biler eller noget helt fjerde.

Tallene \(1,\; 2,\; 3,\; 4,\dots\) kaldes de naturlige tal. De hænger snævert sammen med det at tælle. Det samme gælder for mange af regneoperationerne. For eksempel kan vi finde \(3+2\) ved at tælle til tre og så tælle to mere. Ved minus tæller man nedad. For eksempel finder man \(5-3=2\) ved at tælle tre ned fra fem. Herved kan vi få svar på spørgsmål som for eksempel: En mand starter med fem æbler og spiser de tre. Hvor mange æbler er der tilbage?

Der er ting, som ikke er mulige, hvis man kun har de naturlige tal til rådighed. For eksempel kan man ikke udregne \(3-5\). Løsningen er at indføre nul og de negative hele tal. Nogen vil måske mene, at dette er banalt, men der var en tid, hvor man ikke kendte til negative tal, så måske det alligevel ikke er helt trivielt.

Sagen er, at de negative tal er endnu en abstraktion. Man kan sige, at vi laver en udvidelse af de naturlige tal til de hele tal. Det viser sig, at regnereglerne for de naturlige tal også gælder for udvidelsen, de hele tal. De negative tal giver rigtig god mening i visse sammenhænge. Det gælder for eksempel inden for regnskab, hvor man kan tænke på udgifter som negative indtægter. I andre sammenhænge giver negative tal slet ingen mening. Det er for eksempel svært at forestille sig, hvordan \(-2\) æbler ser ud.

Hvis vi kun har de hele tal, kan vi hurtigt komme til kort ved division, da divisionen ikke altid går op. Dette gælder for eksempel for \(2:5\). Igen er løsningen at definere os ud af problemet. Vi indfører nogle nye tal, som vi definerer som løsning til divisionsopgaver. For eksempel er \(\frac{2}{5}\) løsning til divisionen \(2:5\) og \(\frac{3}{4}\) er løsning til divisionen \(3:4\). De nye tal kalder vi de rationale tal. Det er alle tal af formen \(\frac{p}{q}\), hvor \(p\) og \(q\) er hele tal og \(q\) ikke er nul (fordi det ikke er muligt at dividere med nul). Det viser sig, at det er muligt at udvide regneoperationerne til de rationale tal på en sådan måde, at de sædvanlige regneregler stadig gælder.

Den del af matematikken, der handler om tallene og reglerne for de operationer, man kan udføre på dem, kaldes Aritmetik. Her er en liste over emner, der hører under aritmetik.

De fire regningsarter: De fire regningsarter er plus, minus, gange og dividere. Regler for regneoperationerne, inklusive kommutative, associative og distributive love.
Potensopløftning og roduddragning: Det klassiske og det udvidede potensbegreb. Regneregler for potensopløftning og roduddragning.
Rækkefølge af regneoperationer: Rækkefølgen er først potensopløftning og roduddragning, dernæst multiplikation og division, og til sidst addition og subtraktion.
Modsatte tal og reciprokke tal: To tal siges at være hinandens modsatte, hvis deres sum er \(0\). To tal kaldes hinandens reciprokke, hvis deres produkt er \(1\).
Regning med parenteser: Hvordan hæver og sætter man en parentes? Hvordan ganger man et tal ind i en parentes, og hvordan ganger man to parenteser med hinanden?
Regning med negative tal: De negative tal og tallinjen. Regneregler for negative tal.
Numerisk værdi: Den numeriske værdi af et tal er tallet uden fortegn. Dette kaldes også den absolutte værdi.
Brøkregning: Hvordan anvender man de fire regningsarter på brøker?