Numerisk værdi

For et reelt tal \(a\) er den numeriske værdi \(|a|\) tallet uden fortegn. For eksempel er \(|5|=5\) og \(|-5|=5\). Vi kan med andre ord definere den numeriske værdi ved \[ |a|= \begin{cases} -a & \text{for}\;a<0,\\ a & \text{for}\;a\geq0.\\ \end{cases} \] Et andet ord for numerisk værdi er absolut værdi. Man kan tænke på den numeriske værdi som afstanden til \(0\). For vilkårlige reelle tal \(a\) og \(b\) gælder der \[ |a|\ge a \] \[ |a|\ge 0 \] \[ |a|=0\,\Leftrightarrow\, a=0 \] \[ |a|=|b|\,\Leftrightarrow\, a=b\,\vee\, a=-b \] \[ |a|^2=a^2 \] \[ |a|=\sqrt{a^2} \] \[ |a\cdot b|=|a|\cdot|b| \] \[ |a+b| \le |a|+|b| \] Tegnet \(\Leftrightarrow\) i den tredje og fjerde egenskab læses hvis og kun hvis. Tegnet \(\vee\) i den fjerde egenskab læses eller. Bemærk den sjette egenskab. Hvis \(a\) er positiv eller nul, så er \(\sqrt{a^2}=a\), men hvis \(a\) er negativ, så er \(\sqrt{a^2}=-a\). Det er altså ikke sandt, at det modsatte af at kvadrere er at tage kvadratroden. Det gælder kun for ikke-negative tal.

Den sidste egenskab kaldes trekantsuligheden. Den følger af \[ |a+b|^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2\le |a|^2+2|a||b|+|b|^2=(|a|+|b|)^2. \]

Ligninger, hvor der indgår numerisk værdi, kan ofte løses ved opdeling i tilfælde. Betragt for eksempel ligningen \(|x-2|=4\). Denne ligning er opfyldt, hvis \(x-2=-4\) eller \(x-2=4\). Der er altså to løsninger, nemlig \(x=-2\) og \(x=6\).