Sammensætning af funktioner

For to (eller flere) funktioner kan man danne sammensætningen ved at tage uddata fra den første funktion og bruge det som inddata til den næste. Det kræver naturligvis, at værdimængden for den første funktion er indeholdt i definitionsmængden for den anden funktion. Hvis for eksempel \(f:X\to Y\) og \(g:Y\to Z\) er funktioner, så er sammensætningen en funktion fra \(X\) til \(Z\), og den er givet ved \(x\mapsto g(f(x))\). Til givet \(x\in X\) beregnes altså først \(y=f(x)\) og dernæst \(z=g(y)\). Vi skriver \(g\circ f\) for denne funktion og kalder den for den sammensatte funktion.

Bemærk at vi i \(g\circ f\) lidt ulogisk har den “første” funktion til højre og den “sidste” funktion til venstre. Da der for \(x\in X\) gælder \[ (g\circ f)(x)=g(f(x)), \] kalder vi \(f\) for den indre funktion, mens vi kalder \(g\) den ydre funktion. Definitions­mængden for den sammensatte funktion \(g\circ f\) er \[ \dm(g\circ f)=\left\{x\in\dm(f)\:|\: f(x)\in\dm(g)\right\}. \] Antag for eksempel at \(f(x)=x-3\) og \(g(y)=\sqrt{y}\). Her er \(\dm(f)=\Bbb{R}\) og \(\dm(g)=\Bbb{R}_+\cup\{0\}=[0;\infty[\,\), da man ikke kan tage kvadratroden af et negativt tal. Vi kan danne den sammensatte funktion \(g\circ f\) og der gælder \[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x-3)=\sqrt{x-3}. \] Det er klart, at definitionsmængden for \(g\circ f\) er intervallet \([3;\infty[\,\), men det følger også af udregningen \[ \begin{align} \dm(g\circ f)&=\left\{x\in\dm(f)\:|\: f(x)\in\dm(g)\right\}\\ &=\left\{x\in\Bbb{R}\:|\: x-3\in[0;\infty[\right\}\\ &=[3;\infty[\,. \end{align} \]

Hvis vi har to funktioner \(f:X\to Y\) og \(g:Y\to X\), så kan vi danne både \(g\circ f:X\to X\) og \(f\circ g:Y\to Y\). Disse to funktioner er ikke i almindelighed ens. Hvis for eksempel \(f,g:\Bbb{R}\to\Bbb{R}\) er givet ved \(f(x)=x+2\) og \(g(x)=2x\), så er \[ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(x+2)=2(x+2)=2x+4 \] og \[ (f\circ g)(x)=f(g(x))=f(2x)=2x+2. \]

Funktionssammensætning opfylder altså ikke den kommutative lov. Til gengæld gælder den associative lov for sammensætning af funktioner: For vilkårlige funktioner \(f:X\to Y\), \(g:Y\to Z\) og \(h:Z\to W\) gælder der \[ (h\circ g)\circ f=h\circ (g\circ f). \] For \(x\in X\) har vi nemlig \[ \begin{align} \left((h\circ g)\circ f\right)(x)&=(h\circ g)(f(x))\\ &=h(g(f(x)))\\ &=h((g\circ f)(x))\\ &=\left(h\circ (g\circ f)\right)(x). \end{align} \]

For en mængde \(X\) findes der en funktion, der sender ethvert element i \(X\) ind i sig selv. Denne funktion kaldes identitetsfunktionen og betegnes med \(\id_X\) eller \(1_X\). Der gælder altså \(\id_X:X\to X,\qquad\id_X(x)=x\). For en vilkårlig funktion \(f:X\to Y\) gælder der \[ f=f\circ \id_X=\id_Y\circ f. \]