Funktioner

Hvis \(x\) og \(y\) er variable, og værdien af \(y\) afhænger entydigt af værdien af \(x\), så siger vi, at \(y\) er en funktion af \(x\). Betingelsen er altså, at der til enhver værdi af \(x\) svarer netop én værdi af \(y\).

Et eksempel på en variabel er temperaturen et bestemt sted. Denne variabel afhænger af en anden variabel, nemlig tiden. Temperaturen er altså en funktion af tiden. Et andet eksempel er en persons indkomstskat, der afhænger af, eller er funktion af, personens indkomst.

Man kan tænke på en funktion som en “maskine”, der omdanner inddata til uddata. Vi kalder \(x\) den uafhængige variabel og \(y\) den afhængige variabel.

Som regel er både “inddata” og “uddata” tal. Man kan imidlertid godt tænke sig funktioner, hvor en eller begge af den uafhængige og afhængige variabel kan antage mere generelle værdier. Man kunne for eksempel tænke sig en funktion, der som inddata tager en bil, og som uddata giver bilens farve. Det er også muligt at have funktioner af flere variable. For eksempel afhænger temperaturen ikke kun af tiden men også af stedet.

Læg mærke til, at vi skelner mellem en variabel og den konkrete værdi af variablen. Man kan opfatte en variabel som en pladsholder. Når vi indsætter et konkret tal for den uafhængige variabel, taler vi også om argumentet for funktionen. Det tilsvarende tal for den afhængige variabel kaldes værdien af funktionen. Samtlige mulige (eller tilladte) argumenter kaldes definitionsmængden for funktionen, mens samtlige funktionens værdier kaldes værdimængden for funktionen.

Det kan ofte være praktisk at navngive funktioner. Der er tradition for at kalde en tilfældig funktion \(f\). Vi skriver \(y=f(x)\) for at fortælle, at for inddata \(x\) får vi uddata \(y\). Hvis der er flere funktioner, kalder man typisk den næste funktion \(g\) og den tredje \(h\). Man kan også nummere funktionerne så den første hedder \(f_1\), den anden \(f_2\), den tredje \(f_3\), og så fremdeles. Man kan også give sine funktioner mere sigende navne som for eksempel temperatur, indkomstskat eller bilfarve.

Der er flere måder at angive en funktion på. Den mest almindelige er, at angive en forskrift, dvs. en formel til beregning af \(y\) ud fra \(x\). Som et eksempel kan vi se på elregningen som funktion af forbruget ved en elafgift på \(1.36\) kr/kWh. Hvis \(x\) betegner elforbruget i kWh og \(y\) betegner elregningen i kr, så er en forskrift for funktionen \[ y=1.36\cdot x. \] Hvis funktionen har et navn, for eksempel \(f\), så angiver vi også det, når vi opskriver forskriften, og skriver \(f(x)\) i stedet for \(y\), hvis funktionen hedder \(f\): \[ f(x)=1.36\cdot x. \] Hvis det skal være formelt, og det ikke er oplagt hvad, der er funktionens defini­tions­mæng­de, så anfører vi dette sammen med forskriften. I eksemplet med elregningen kan forbruget kun være positivt eller nul, og det angiver vi ved at skrive for eksempel \[ f(x)=1.36\cdot x,\qquad x\geq0. \] Man kan også have funktioner, der har forskellig forskrift på forskellige intervaller: \[ g(x)= \begin{cases} -x & \text{for}\;x\lt0,\\ x & \text{for}\;x\geq0.\\ \end{cases} \]

For en funktion med endelig definitionsmængde er det muligt at angive funktionen ved at tegne pile mellem argumenter og værdier eller ved hjælp af en tabel.

Endelig kan man beskrive en funktion ud fra dens graf, der er mængden af punkter \((x,y)\), hvor \(y=f(x)\). Der findes mange programmer, der er i stand til at tegne grafen for en funktion, som er defineret på (en delmængde af) de reelle tal. Man kan også tegne grafen i hånden.

Når man skal tegne en graf, starter man med at lave et såkaldt sildeben, der er en tabel med sammenhørende værdier af den uafhængige og den afhængige variabel. De fundne punkter sætter man så ind i et koordinatsystem, og derefter forsøger man at forbinde punkterne med en “pæn” kurve. Man kan anføre funktionens navn ved siden af grafen. Hvis en funktion er defineret på et interval, er hvert endepunkt en bolle, der enten er udfyldt eller tom afhængig af, om punktet er med eller ej.

Som et eksempel kan vi betragte funktionen \[ f(x)=\frac{1}{4}x^3-\frac{3}{4}x+\frac{1}{2},\qquad x\lt 2. \] For at kunne tegne grafen starter vi med at lave et sildeben:

Nedenfor ses grafen for \(f\). Da funktionen ikke er defineret i det højre endepunkt, anbringer vi en uudfyldt bolle i punktet \((2,1)\). Der er ikke nogen bolle i venstre side, og det betyder, at grafen fortsætter mod venstre uden for figuren.

Definitionsmængden for en funktion \(f\) betegnes \(\dm(f)\). Det er mængden af tilladte inddata. Der kan være to grunde til at inddata ikke er tilladt. Det kan være, at visse inddata simpelt hen ikke giver mening, når man sætter dem ind i forskriften for funktionen (for eksempel fordi de ville resultere i division med nul). Der kan også være tale om, at vi ikke ønsker at betragte visse inddata som i eksemplet med elregningen ovenfor.

Det fremgår af det forrige afsnit, at det er muligt at have to funktioner med samme forskrift men forskellige definitionsmængder. Vi siger, at to funktioner \(f_1\) og \(f_2\) er ens, og vi skriver \(f_1=f_2\), hvis de to funktioner har samme definitionsmængde, og de stemmer overens (har samme værdi) på deres fælles definitionsmængde.

Mængden af alle uddata (eller værdier) fra en funktion \(f\) kaldes værdimængden for \(f\) (eller billedmængden eller billedet af \(f\)) og betegnes \(\vm(f)\).

Der kan siges meget mere om funktioner. Her er forslag til videre læsning.

Abstrakt funktionsteori

Mængdeteoretisk definition af funktioner. Diskussion af begreberne injektiv, surjektiv og bijektiv.

Funktioner fra reelle tal ind i reelle tal

Regning med reelle funktioner. Introduktion af begreber inden for funktionsanalyse som nulpunkter, ekstrema, monotoni og asymptoter.

Sammensætning af funktioner

Virkningen af en funktion fulgt af en anden kan beskrives som en sammensat funktion. Notation, definitionsmængde og regneregler for sammensat funktion.

Omvendt funktion

Hvad vil det sige, at en funktion har en omvendt funktion? Hvilke funktioner har en omvendt funktion? Forskrift og graf for den omvendte funktion.