Variable og konstanter

En variabel er et bogstav (eller et andet symbol), der repræsenterer et tal. Flertals­formen af variabel kan både hedde variable og variabler, og det er en smagssag, om man foretrækker det ene eller andet ord. Hos SpelledOutMath har vi valgt at bruge flertalsformen variable.

Når vi anvender variable i matematik, er det fordi, det tillader os at generalisere. Vi kan opfatte en variabel som et generaliseret tal eller som en pladsholder, hvor man kan indsætte konkrete tal. I modsætning hertil er en konstant en størrelse, der har en fast værdi. Værdien af en konstant kan dog godt være ukendt, og det betyder, at man også kan anvende bogstaver for konstanter.

Nedenfor diskuterer vi først de forskellige situationer, hvor man anvender variable, og derefter ser vi på, hvornår man kan benytte bogstaver for konstanter.

Hvornår anvendes variable?

Man hører ofte udsagnet, at en variabel er noget, der varierer, men det er faktisk en lidt misvisende forklaring. Den korrekte forklaring er, at en variabel er en repræsen­tant for en størrelse, hvor man kan indsætte forskellige konkrete værdier. Sagt kort og lidt populært, så er en variabel en pladsholder. Variable anvendes i mange forskellige sammenhænge. Med variable kan vi

• undersøge hvordan forskellige størrelser forholder sig til hinanden. En forbindelse mellem forskellige størrelser kaldes en relation.
• referere til tal, som vi endnu ikke kender. Disse tal kan bestemmes ved at opstille og løse ligninger.
• formulere regler for regneoperationerne. Sådanne regler kaldes identiteter.

Nedenfor sætter vi lidt flere ord på disse tre anvendelser af variable.

Relationer

Med variable kan man udforske, hvordan forskellige størrelser forholder sig til hinanden. Et eksempel på dette er Pythagoras' sætning, der fortæller hvordan sidelængderne i en retvinklet trekant forholder sig til hinanden. Hvis vi med variablene \(a\) og \(b\) betegner trekantens kateter (de to korte sider) og med \(c\) betegner hypotenusen (siden over for den rette vinkel), så gælder der som bekendt \[ a^2+b^2=c^2. \] Et udsagn, der som det ovenstående udtrykker en sammenhæng mellem forskellige størrelser, kaldes en relation. Vi kan sætte konkrete tal ind på de tre variables pladser, og hvis relationen er opfyldt, kan de tre tal bruges som sidelængder i en retvinklet trekant. For eksempel er relationen opfyldt for \((a,b,c)=(3,4,5)\), da \(3^2+4^2=9+16=25=5^2\), men ikke for \((a,b,c)=(4,5,6)\). Det betyder, at en trekant med sidelængderne \(3\), \(4\) og \(5\) er retvinklet, mens en trekant med sidelængder \(4\), \(5\) og \(6\) ikke er retvinklet (den er spidsvinklet).

Bemærk at en relation ikke nødvendigvis behøver indeholde et lighedstegn. For eksempel kan vi angive, at de to korteste sider i en trekant tilsammen er længere end den længste side med relationen \[ a+b>c. \]

Et andet eksempel på en relation tager udgangspunkt i en virksomhed, der fremstiller kuglepenne. Hvis variablen \(x\) betegner antal produktionsenheder (dvs. antallet af kuglepenne, som virksomheden producerer), og \(y\) betegner de samlede produktions­omkostninger målt i kroner, så gælder der relationen \[ y=3x+30000, \] idet prisen for produktionsapparatet er 30000 kroner, og omkostningerne til råmate­rialer, arbejdsløn m.m. udgør 3 kroner pr. produceret kuglepen. I denne relation indgår kun to variable, og relationen har yderligere den egenskab, at der til enhver værdi af variablen \(x\) svarer netop en værdi af variablen \(y\). Andre måder at sige det samme på er, at værdien af \(x\) bestemmer værdien af \(y\), eller at variablen \(y\) afhænger af variablen \(x\).

En relation med to variable, hvor der til enhver værdi af den første variabel svarer netop en værdi af den anden variabel, kaldes en funktion. Den første variabel kaldes den uafhængige variabel, mens den anden variabel kaldes den afhængige variabel. Der er tradition for at reservere bogstaverne \(x\) og \(y\) til at betegne henholdsvis den uafhængige og den afhængige variabel. Funktioner er en af de allervigtigste begreber i matematik, og er beskrevet nærmere her.

Ligninger

Indimellem vil man gerne kunne referere til en størrelse, som man (endnu) ikke kender værdien af. Man kan have et problem, hvor en variabel repræsenterer en bestemt værdi, som endnu ikke er kendt, men som måske kan bestemmes ved at opstille og løse en eller flere ligninger. En ligning er et udtryk med et lighedstegn og mindst en variabel. Når en variabel optræder i en ligning kaldes den også en ubekendt.

Problemer, hvor man har brug for at referere til en ukendt størrelse, forekommer inden for mange fag, f.eks. fysik, kemi og økonomi, men også i mange mere dagligdags situationer. Et simpelt eksempel er en mand, der ønsker at købe en ny bil til \(250000\) kroner, og som tjener 250 kroner i timen efter skat. Hans problem er, hvor mange arbejdstimer han skal præstere for at få råd til den nye bil. Hvis vi betegner antallet af timer med \(x\), så kan vi opstille ligningen \[ x\cdot 250=250000. \] Det er ikke svært at se, at løsningen til denne ligning er \(x=1000\). Vi kan derfor konkludere, at manden skal arbejde i 1000 timer for at få råd til den nye bil.

Eksemplet viser, hvordan vi kan løse et problem ved at indføre en ubekendt, som vi regner videre med på samme måde, som hvis der var tale om et konkret tal. Bemærk også at matematikere normalt ikke tager enheder med, når de opstiller og løser ligninger. Til gengæld er det en væsentlig del af en skriftlig besvarelse at formulere en konklusion, der også indeholder en enhed. Der er meget mere om ligninger her.

Identiteter

Med variable kan vi formulere egenskaber ved regneoperationerne som love. For eksempel er en af egenskaberne ved regneoperation \(+\), at det er tilladt at bytte om på de to tal, som vi lægger sammen. Vi kan formulere dette med variable ved at skrive \[ a+b=b+a, \] og det er så underforstået, at udsagnet er opfyldt, uanset hvad vi sætter ind på \(a\)'s og \(b\)'s pladser. For eksempel er \(3+5=5+3\). Et udsagn, der som udsagnet \(a+b=b+a\) indeholder et lighedstegn og mindst en variabel, og som altid er sandt, kaldes en identitet. Man bør tænke på en identitet som en regneregel, der kan bruges til at omskrive (simplificere) et udtryk.

Det skal understreges, at identiteter og ligninger er to forskellige ting. Ganske vist kan man i begge tilfælde indsætte tal på variablens/variablenes plads(er) (hvis den samme variabel optræder mere end en gang, så skal vi naturligvis indsætte det samme tal alle stederne). Forskellen er, at ved en identitet får vi altid et sandt udsagn, uanset hvilke tal vi sætter ind, mens dette kun gælder for visse tal ved ligninger. Tal, som indsat i en ligning gør ligningen til et sandt udsagn, kaldes løsninger, og ved ligninger gælder det netop om at finde løsninger. Sådan forholder det sig ikke ved identiteter. Da alt er løsninger, er der noget, man har misforstået, hvis man forsøger at løse en identitet. I stedet bør man opfatte en identitet som en regel for, hvordan man kan omforme udtryk.

Nedenfor er tre vigtige identiteter, som anvendes igen og igen. \[ (x+y)^2=x^2+2xy+y^2 \] \[ (x-y)^2=x^2-2xy+y^2 \] \[ (x+y)(x-y)=x^2-y^2 \] Den sidste identitet formuleres ofte med ord: To tals sum gange de samme to tals differens er lig med kvadratet på det første tal minus kvadratet på det andet tal. Man samler undertiden de to første identiteter til en identitet: \[ (x\pm y)^2=x^2\pm 2xy+y^2 \] Her er det underforstået, at vi enten anvender den øverste regneoperation på begge sider af lighedstegnet, eller også anvender vi den nederste regneoperation på begge sider af lighedstegnet. Denne identitet formuleres også ofte med ord: Kvadratet på en to-leddet størrelse er lig med kvadratet på det første led plus/minus det dobbelte produkt plus kvadratet på det andet led.

Et typisk eksempel på en opgave, hvor man med fordel kan benytte en af ovenstående identiteter er følgende: Reducér udtrykket \((a+2b)(a-2b)\). Ved at benytte den tredje identitet ovenfor med \(x=a\) og \(y=2b\) får vi \[ (a+2b)(a-2b)=a^2-(2b)^2=a^2-4b^2. \]

Konstanter

Ovenfor definerede vi en variabel som en pladsholder: En variabel er en repræsentant for en størrelse, og vi kan sætte forskellige konkrete værdier ind på variablens plads. I modsætning hertil har vi størrelser med en fast værdi. Sådan en størrelse kaldes en konstant. Selvom en konstant egentlig bare er et tal, er det i visse tilfælde hensigts­mæssigt at betegne en konstant med et bogstav, på samme måde som vi anvender bogstaver for variable.

Når vi anvender bogstaver for konstanter, er det med samme begrundelse, som da vi tidligere indførte variable: Det tillader os at generalisere. Vi har tidligere betragtet ligningen \[ x\cdot 250=250000, \]

der opstod, da vi ønskede at afgøre, hvor mange timer en mand skulle arbejde for at få råd til en bil til \(250000\) kroner, hvis han tjener 250 kroner i timen (efter skat). Hvad nu hvis manden i stedet tjener 300 kroner i timen, og han kan nøjes med en brugt bil til \(90000\) kroner? Ja så skal vi selvfølgelig løse ligningen \[ x\cdot 300=90000. \]

De to ligninger ligner hinanden til forveksling. Den eneste forskel er, at i den første ligning havde vi de to konstanter 250 og 250000, mens i den anden ligning var konstanterne 300 og 90000. Hvis vi erstatter konstanterne med bogstaver, får vi samme ligningstype, \[ x\cdot a=b, \] og vi kan tilmed opstille en løsningsformel. Ligningen har løsningen \(x=b/a\).

Når vi har at gøre med så simple ligninger som her, er der ikke meget vundet ved at have en generel løsningsformel, men hvis vi går til mere komplicerede ligninger (for eksempel andengradsligninger) er det en stor fordel at have en generel løsnings­formel. Man kan sige, at brug af bogstaver gør det muligt at løse alle ligninger af samme type med en enkelt udregning.

Ved funktioner kan det også være en fordel at anvende bogstaver for konstanter. I vores kuglepenneeksempel havde vi en sammenhæng mellem to variable: \(x\), der beteg­ner antal produktionsenheder (antal producerede kuglepenne), og \(y\), der betegner de samlede produktionsomkostninger i kroner. Sammenhængen var givet ved \[ y=3x+30000. \]

Her er \(3\) og \(30000\) konstanter. Hvis vi erstattede dem med \(4\) og \(20000\), ville vi natur­ligvis få en anden funktion, men det ville være en funktion af samme type. Funktioner af denne type opfylder en relation af formen \[ y=ax+b, \] hvor \(a\) og \(b\) er konstanter.

Hvordan ved man, om et bogstav står for en variabel eller en konstant? Svaret er, at det afhænger af sammenhængen. Der er dog også en konvention om, at man tilstræ­ber at bruge bogstaver i slutningen af alfabetet for variable og bogstaver i begyndel­sen af alfabetet for konstanter.