Sammenligning af lineære funktioner, eksponentielle udviklinger og potensudviklinger
I skemaet nedenfor ses en sammenligning af lineære funktioner, eksponentielle udviklinger og potensudviklinger. De tre funktionstyper har en række fællestræk. For eksempel kan man for alle tre funktionstyper bestemme en forskrift for funktionen, hvis man blot kender to forskellige punkter på grafen. Der gælder også en simpel vækstformel for alle tre funktionstyper.
Skemaet giver et overblik over ligheder og forskelle på de tre funktionstyper. Tanken bag er, at det skal anvendes til at få det store overblik i forbindelse med repetition. For at lære om de enkelte emner anbefales det at klikke på henvisningerne ovenfor. Bemærk at vi her kun dækker C-niveau. På højere niveauer skal man også kunne differentiere og integrere de tre funktionstyper.
I skemaet er “Ligning”, “Vækstformel” og “Alternative formuleringer” forskellige måder at sige det samme på. Det er derfor nok at kende en af dem, f.eks. “Vækstformel”. Ved skriftlig eksamen bliver der ofte stillet opgaver, hvor det er godt at have rutine i at anvende vækstformlen.
| Funktion | Lineær funktion | Eksponentiel udvikling | Potensudvikling |
|---|---|---|---|
| Forskrift | \(f(x)=ax+b\) | \(f(x)=ba^x\) | \(f(x)=bx^a\) |
| Restriktioner | Ingen | \(a\gt0,\;b\gt0\) | \(b\gt0\) |
| Voksende | for \(a\gt0\) | for \(a\gt1\) | for \(a\gt0\) |
| Konstant | for \(a=0\) | for \(a=1\) | for \(a=0\) |
| Aftagende | for \(a\lt0\) | for \(a\lt1\) | for \(a\lt0\) |
| Definitionsmængde | \(\Bbb{R}\) | \(\Bbb{R}\) | \(\Bbb{R}_+\) |
| Værdimængde | \(\Bbb{R}\) for \(a\ne0\) | \(\Bbb{R}_+\) for \(a\ne1\) | \(\Bbb{R}_+\) for \(a\ne0\) |
| Ligning | \(f(x+\Delta x)=f(x)+a\Delta x\) | \(f(x+\Delta x)=f(x)\cdot a^{\Delta x}\) | \(f(x\cdot F_x)=f(x)\cdot F_x^a\) |
| Vækstformel | \(\Delta y=a\Delta x\) | \(F_y=a^{\Delta x}\) | \(F_y={F_x}^a\) |
| Alternative formuleringer | \(1+r_y=(1+r_x)^a\) | ||
| \(r_y=(1+r_x)^a-1\) | |||
| Andre formler | \(T_2=\frac{\ln 2}{\ln a}\) for \(a\gt1\) | ||
| \(T_{1/2}=\frac{\ln 1/2}{\ln a}\) for \(a\lt1\) | |||
| Find forskrift fra to punkter | \(a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\) | \(a=\sqrt[x_2-x_1]{\frac{y_2}{y_1}}\) | \(a=\frac{\ln y_2-\ln y_1}{\ln x_2-\ln x_1}\) |
| \(b=y_1-ax_1\) | \(b=\frac{y_1}{a^{x_1}}\) | \(b=\frac{y_1}{x_1^a}\) | |
| Grafpunkt | \((0,b)\) | \((0,b)\) | \((1,b)\) |
| Graf ret linje | sædvanligt koordinatsystem | enkeltlogaritmisk system | dobbeltlogaritmisk system |
| Specialtilfælde | \(b=0\) | \(b=1\) | \(b=1\) |
Specialtilfælde
| Funktion | Proportionalitet | Eksponentialfunktion | Potensfunktion |
|---|---|---|---|
| Forskrift | \(f(x)=ax\) | \(f(x)=a^x\) | \(f(x)=x^a\) |
| Ligning | \(f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)\) | \(f(x_1+x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2)\) | \(f(x_1\cdot x_2)=f(x_1)\cdot f(x_2)\) |