Potensudviklinger

En funktion af formen \(f(x)=bx^a\), hvor \(a\) og \(b\) er konstanter og \(b\gt 0\), kaldes en potensudvikling. Hvis \(b=1\) (så \(f(x)=x^a\)) taler man også om en potensfunktion. Det er dog ikke alle, der skelner mellem potensudviklinger og potensfunktioner. De kalder i stedet potensudviklinger for potensfunktioner.

Vi minder om, at når \(a\) ikke er hel, så er det ikke muligt at give mening til potens­op­løft­ningen \(x^a\) for \(x\le 0\) men kun for \(x\gt 0\). Det betyder, at definitionsmængden for en potensudvikling \(f(x)=bx^a\) er \(\dm(f)=\Bbb{R}_+\). Vi minder også om, at potens­op­løft­ningen \(x^a\) for \(x\gt 0\) er defineret ved \[ x^a=\exp(a\cdot\ln(x)), \] hvor \(\ln\) er den naturlige logaritme og \(\exp\) er den naturlige eksponentialfunktion. Dette er det såkaldte udvidede potensbegreb.

Bemærk at der stadig gælder \(\dm(f)=\Bbb{R}_+\) for en potensudvikling \(f(x)=bx^a\), selvom \(a\) skulle være hel. Når \(a\) er hel, er det dog muligt at udvide definitionsområdet for \(f\) til enten \(\Bbb{R}\setminus\{0\}\) eller \(\Bbb{R}\), afhængig af om \(a\le 0\) eller \(a\gt 0\). Når \(a\) er hel, kan man nemlig definere potensopløftningen \(x^a\) ved hjælp af det klassiske potensbegreb.

Som et eksempel kan nævnes, at funktionen \(f_1(x)=\frac{1}{4}x^2\) med definitionsmængde \(\dm(f_1)=\Bbb{R}_+\) er en potensudvikling.

Derimod er funktionen \(f_2(x)=\frac{1}{4}x^2\) med definitionsmængde \(\dm(f_2)=\Bbb{R}\) ikke en potensudvikling, da definitionsmængden ikke er \(\Bbb{R}_+\). I stedet er \(f_2\) et andengradspolynomium. Selvom \(f_1\) og \(f_2\) har samme forskrift, er det to forskellige funktioner, da de ikke har samme definitionsmængde. Til gengæld er \(f_2\) en udvidelse af \(f_1\). Ovenfor ses grafen for \(f_1\), og nedenfor ses grafen for \(f_2\).

Grunden til, at vi i definitionen af en potensudvikling forlanger, at \(b\) skal være positiv, er, at vi i anvendelser ønsker, at værdierne af funktionen er positive. Potens­op­løft­ningen \(x^a\) er jo altid positiv, så når vi ganger med et positivt tal, sikrer vi, at resultatet er positivt. Der er ingen matematisk begrundelse for, at \(b\) skal være positiv.

Hvis \(a=0\), så er potensudviklingen \(f(x)=bx^a\) konstant, idet \[ f(x)=b\cdot x^0=b\cdot 1=b \] for alle \(x\in\Bbb{R}\). Det betyder, at for \(a=0\) er værdimængden \(\vm(f)=\{b\}\). For \(a\ne 0\) er værdimængden \(\vm(f)=\Bbb{R}_+\).

Læs mere om potensudviklinger ved at klikke på emnerne nedenfor.

Betydning af konstanterne for en potensudvikling

Den ene konstant fortæller om funktionen er aftagende, konstant eller voksende. Den anden konstant er funktionens værdi i x=1.

Vækst for en potensudvikling

Vækstformlen for potensudviklinger fortæller, hvordan man finder frem­skriv­nings­faktoren for den afhængige variabel, når man kender frem­skriv­nings­faktoren for den uafhængige variabel.

Find forskrift for en potensudvikling

Når man kender to punkter på grafen for en potensudvikling, så kan man be­stem­me forskriften for funktionen.

Potensudviklinger og dobbeltlogaritmisk papir

En funktion er en potensudvikling, hvis og kun hvis grafen bliver en ret linje på dobbeltlogaritmisk papir.