Vækst for en potensudvikling

En potensudvikling er en funktion af formen \(f(x)=bx^a\), hvor \(a\in\Bbb{R}\) og \(b\in\Bbb{R}_+\). Definitionsmængden for \(f\) er \(\dm(f)=\Bbb{R}_+\). For en potensudvikling \(f\) gælder der for alle \(x\gt 0\) og \(F_x\gt 0\) ligningen \[ f(x\cdot F_x)=f(x)\cdot F_x^a. \]

For at bevise ligningen sætter vi ind i forskriften for potensudviklingen og benytter potensregnereglen \((x\cdot F_x)^a=x^a\cdot F_x^a\). Herved får vi \[ f(x\cdot F_x)=b(xF_x)^a=bx^aF_x^a=f(x)\cdot F_x^a. \]

Ligningen fortæller, at når vi ganger \(x\) med en positiv konstant \(F_x\), så bliver \(y=f(x)\) ganget med den positive konstant \(F_y=F_x^a\). Tallet \(F_x\) kaldes fremskrivningsfaktoren for \(x\) og \(F_y\) kaldes fremskrivningsfaktoren for \(y\). Formlen \(F_y=F_x^a\) kaldes vækst­form­len for potensudviklinger. Som et eksempel på anvendelse af vækstformlen kan vi betragte potensudviklingen \(f(x)=3x^4\). Hver gang vi ganger \(x\) med \(1.2\), så skal vi gange \(y\) med \(1.2^4=2.0736\).

Der findes andre beviser for vækstformlen. I de fleste lærebøger betragter man to punkter \((x_1,y_1)\) og \((x_2,y_2)\) på grafen for \(f\). Der gælder altså \(y_1=bx_1^a\) og \(y_2=bx_2^a\). Fremskrivningsfaktoren for \(x\) er \(F_x=\frac{x_2}{x_1}\) og fremskrivningsfaktoren for \(y\) er \(F_y=\frac{y_2}{y_1}\). Når vi indsætter og benytter potensregnereglen \(\frac{r_1^s}{r_2^s}=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^s\), så får vi \[ F_y=\frac{y_2}{y_1}=\frac{bx_2^a}{bx_1^a}=\frac{x_2^a}{x_1^a}=\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^a=F_x^a. \]

Det er muligt at give en alternativ formulering af vækstformlen ved at benytte den relative tilvækst i stedet for fremskrivningsfaktoren. Da \(F_x=1+r_x\), hvor \(r_x\) er den relative tilvækst for \(x\), og \(F_y=1+r_y\), hvor \(r_y\) er den relative tilvækst for \(y\), gælder der \[ 1+r_y=(1+r_x)^a, \] hvilket kan omskrives til \[ r_y=(1+r_x)^a-1. \]

Som et eksempel betragter vi igen potensudviklingen \(y=3x^4\). Hvor mange procent stiger \(y\) med, når \(x\) stiger med \(20\%\)? Da \(r_x=\frac{20\%}{100\%}=0.2\), får vi \[ \begin{align} r_y&=(1+r_x)^a-1\\&=(1+0.2)^4-1\\&=1.2^4-1\\&=2.0736-1\\&=1.0736\cdot 100\%\\&=107.36\%. \end{align} \]