Absolut tilvækst, relativ tilvækst og fremskrivningsfaktor

Når man i anvendt matematik taler om vækst, mener man som regel en størrelse, der varierer over tid. Der er med andre ord tale om en størrelse, der er en funktion af tiden. Selvom det hedder vækst, er der ikke nødvendigvis tale om en voksende funktion. Vækst kan være positiv, negativ eller nul.

Nedenfor betragter vi først situationen, hvor en størrelse varierer over tid. Vi diskuterer, hvordan man kan sætte et tal på ændringen af værdien fra et tidspunkt til et andet. Man kan både angive ændringen i absolutte tal og i procent. Man taler om henholdsvis absolut tilvækst og relativ tilvækst. Derudover indfører vi begrebet fremskrivningsfaktor, der er en variant af den relative tilvækst, som kan være lettere at regne med end den relative tilvækst.

Bagefter ser vi på en situation, hvor en variabel afhænger af (er funktion af) en anden variabel. Det er muligt at definere absolut tilvækst, relativ tilvækst og fremskrivningfaktor for de to variable. Dette er interessant i forbindelse med lineære funktioner, eksponentielle udviklinger og potensudviklinger. For disse funktionstyper gælder der nemlig nogle simple regler for sammenhængen mellem ændringen af den uafhængige variabel og ændringen af den afhængige variabel. Reglerne går under navnet vækstformler.

Sammenligning af værdi til to tidspunkter

Man står ofte i en situation, hvor man ønsker at sammenligne værdien af en eller anden størrelse til to forskellige tidspunkter. Man ønsker et tal, der kan fortælle, hvor meget størrelsen er vokset fra det første tidspunkt til det andet. Det viser sig, at det er muligt at definere tre forskellige variable, som alle kan siges at sætte tal på væksten. Disse tre variable kaldes den absolutte tilvækst, den relative tilvækst og fremskrivningsfaktoren. Inden vi definerer disse begreber, skal vi se et eksempel.

En bestemt bilmodel koster \(135\,000\) kroner. Sidste år kostede den samme bilmodel \(125\,000\) kroner. Hvor stor er pristigningen? I absolutte tal er stigningen \[ 135\,000\;\text{kroner}-125\,000\;\text{kroner}=10\,000\;\text{kroner}. \] Vi kan også svare på, hvor stor stigningen har været i forhold til prisen for et år siden: \[ \frac{10\,000\;\text{kroner}}{125\,000\;\text{kroner}}=0.08\cdot100\%=8\%. \] Prisen er altså steget med \(8\%\).

Når man som i eksemplet ovenfor har to værdier af en størrelse, så plejer man at kalde den første begyndelseværdien og betegne den med \(B\), mens den anden værdi kaldes slutværdien og betegnes med \(S\). I eksemplet ovenfor er \(B=125\,000\;\text{kroner}\) og \(S=135\,000\;\text{kroner}\). Som tidligere nævnt kan vækst være positiv, nul eller negativ. Væksten er positiv, når slutværdien er større end begyndelsesværdien, altså når \(S\gt B\), den er nul, når \(S=B\), og den er negativ, når \(S\lt B\).

Det første mål for væksten er den absolutte tilvækst \(\Delta=S-B\). Dette kan omskrives til \(B+\Delta=S\), så den absolutte tilvækst fortæller, hvor meget man skal lægge til begyndelsesværdien for at komme til slutværdien.

Den relative tilvækst, betegnet med \(r\), er lig med forholdet mellem den absolutte tilvækst og begyndelsesværdien, dvs. \[ r=\frac{\Delta}{B}=\frac{S-B}{B}. \] Den relative tilvækst skrives ofte i procent. Et andet ord for relativ tilvækst er vækstrate.

Endelig definerer vi fremskrivningsfaktoren ved \(F=\frac{S}{B}\). Dette kan omskrives til \(BF=S\), så fremskrivningsfaktoren fortæller, hvor meget man skal gange begyndelsesværdien med for at komme til slutværdien. Sammenhængen mellem den relative tilvækst og fremskrivningsfaktoren er \(F=1+r\), idet \[ r=\frac{\Delta}{B}=\frac{S-B}{B}=\frac{S}{B}-\frac{B}{B}=F-1. \]

Det er klart, at der ved nulvækst gælder \(\Delta=0\), \(r=0\) og \(F=1\). Ved positiv vækst er \(\Delta\gt 0\), \(r\gt 0\) og \(F\gt 1\). Ved negativ vækst er \(\Delta\lt 0\), \(r\lt 0\) og \(F\lt 1\).

Lad os gentage eksemplet ovenfor med de nye betegnelser. Begyndelsesværdien er \(B=125\,000\;\text{kroner}\) og slutværdien er \(S=135\,000\;\text{kroner}\). Den absolutte tilvækst er \[ \Delta=S-B=135\,000\;\text{kroner}-125\,000\;\text{kroner}=10\,000\;\text{kroner}. \] Den relative tilvækst er \[ r=\frac{\Delta}{B}=\frac{10\,000\;\text{kroner}}{125\,000\;\text{kroner}}=0.08, \] hvilket også kan skrives i procent som \(r=0.08\cdot100\%=8\%\). Fremskrivningsfaktoren er \[ F=\frac{S}{B}=\frac{135\,000\;\text{kroner}}{125\,000\;\text{kroner}}=1.08. \] Vi kunne også have fundet dette resultat ved at benytte formlen \(F=1+r\).

Hvad vil prisen for bilen være til næste år, hvis vi antager, at den absolutte tilvækst er konstant? Så skal vi lægge den absolutte tilvækst til slutværdien. Prisen om et år vil altså være \[ S+\Delta=135\,000\;\text{kroner}+10\,000\;\text{kroner}=145\,000\;\text{kroner}. \]

Hvad nu hvis vi i stedet (lidt mere realistisk) antager, at det er den relative tilvækst, der er konstant? Så er fremskrivningsfaktoren også konstant. Det betyder, at vi kan finde prisen om et år ved at gange slutværdien med fremskrivningsfaktoren. Prisen om et år vil altså være \[ SF=135\,000\;\text{kroner}\cdot 1.08=145\,800\;\text{kroner}. \] Det er 800 kroner dyrere og skyldes “renters rente”.

Læg mærke til, at det er meget nemmere bare at gange de \(135\,000\) kroner med fremskrivningsfaktoren \(1.08\) end først at beregne den ny absolutte tilvækst som \(8\%\) af de \(135\,000\) kroner (hvilket giver \(10\,800\) kroner) og derefter at udføre additionen \[ 135\,000\;\text{kroner}+10\,800\;\text{kroner}=145\,800\;\text{kroner}. \] Vi får samme resultat, fordi \[ \begin{align} 135\,000+135\,000\cdot 0.08&=135\,000\cdot 1+135\,000\cdot 0.08\\ &=135\,000\cdot (1+0.08)\\ &=135\,000\cdot 1.08. \end{align} \]

Det er samme historie med momsregnskab. I stedet for at lægge \(25\%\) til er det nemmere at gange med \(1.25=\frac{5}{4}\). Hvis for eksempel en vare koster 40 kroner uden moms, så koster den \[ 40\;\text{kroner}\cdot 1.25=50\;\text{kroner} \] med moms. Det er nemmere end at beregne at \(25\%\) af 40 kroner er 10 kroner, og at \(40+10=50\).

Hvis man kender prisen med moms og ønsker at finde prisen uden moms, så skal man ikke trække noget fra. I stedet skal man dividere med \(1.25\), hvilket er det samme som at gange med det reciprokke tal \(0.8=\frac{4}{5}\). For eksempel kan vi se på en bil, der koster \(135\,000\) kroner med moms. Prisen uden moms er \[ \frac{135\,000\;\text{kroner}}{1.25}=135\,000\;\text{kroner}\cdot 0.8=108\,000\;\text{kroner}. \]

Sammenligning af værdiændring for to samhørende variable

Antag nu at vi har en funktionssammenhæng mellem to reelle variable \(x\), den uafhængige variabel, og \(y\), den afhængige variabel. Antag endvidere, at \(x_1\) og \(x_2\) er to forskellige værdier af \(x\). Vi kan for nemheds skyld antage, at \(x_1\lt x_2\). Vi kalder \(x_1\) for begyndelsesværdien af \(x\) og \(x_2\) for slutværdien af \(x\). Lad \(y_1\) betegne funktionsværdien af \(x_1\) og lad \(y_2\) være funktionsværdien af \(x_2\). Vi kalder \(y_1\) for begyndelsesværdien af \(y\) og \(y_2\) for slutværdien af \(y\).

Vi kan ikke på forhånd vide, om der gælder \(y_1\lt y_2\) eller \(y_1=y_2\) eller \(y_1\gt y_2\). Hvis der er tale om en voksende funktion, så er \(y_1\lt y_2\). Hvis der er tale om en konstant funktion, så er \(y_1=y_2\). Hvis der er tale om en aftagende funktion, så er \(y_1\gt y_2\).

Man skriver \(\Delta x\) for den absolutte tilvækst i \(x\), mens man skriver \(r_x\) for den relative tilvækst for \(x\) samt \(F_x\) for fremskrivningsfaktoren for \(x\). Der gælder altså \(\Delta x=x_2-x_1\) (og dermed \(x_1+\Delta x=x_2\)), \(r_x=\frac{x_2-x_1}{x_1}\) og \(F_x=\frac{x_2}{x_1}\) (og dermed \(x_1\cdot F_x=x_2\)).

Tilsvarende skriver man \(\Delta y\) for den absolutte tilvækst i \(y\), \(r_y\) for den relative tilvækst for \(y\) og \(F_y\) for fremskrivningsfaktoren for \(y\). Der gælder \(\Delta y=y_2-y_1\) (og dermed \(y_1+\Delta y=y_2\)), \(r_y=\frac{y_2-y_1}{y_1}\) og \(F_y=\frac{y_2}{y_1}\) (og dermed \(y_1\cdot F_y=y_2\)).

Disse begreber har relevans for lineære funktioner, eksponentielle udviklinger og potensudviklinger, idet der for disse funktionstyper gælder en sammenhæng mellem ændringen i den uafhængige variabel og ændringen i den afhængige variabel. Disse sammenhænge går under navnet vækstformler og gælder kun for disse funktionstyper. For en lineær funktion gælder der vækstformlen \[ \Delta y=a\Delta x. \] Vi har nemlig \(y_1=ax_1+b\) og \(y_2=ax_2+b\), hvorfor \[ \begin{align} \Delta y&=y_2-y_1\\ &=ax_2+b-(ax_1+b)\\ &=ax_2+b-ax_1-b\\ &=ax_2-ax_1\\ &=a(x_2-x_1)\\ &=a\Delta x. \end{align} \]

For en eksponentiel udvikling gælder der vækstformlen \[ F_y=a^{\Delta x}. \] Ved at benytte at \(y_1=ba^{x_1}\) og \(y_2=ba^{x_2}\) samt en velkendt potensregneregel får vi nemlig \[ F_y=\frac{y_2}{y_1}=\frac{ba^{x_2}}{ba^{x_1}}=\frac{a^{x_2}}{a^{x_1}}=a^{x_2-x_1}=a^{\Delta x}. \]

For en potensudvikling gælder der vækstformlen \[ F_y={F_x}^a. \] Dette følger af, at \(y_1=bx_1^a\) og \(y_2=bx_2^a\) samt en anden potensregneregel, idet \[ F_y=\frac{y_2}{y_1}=\frac{bx_2^a}{bx_1^a}=\frac{x_2^a}{x_1^a}=\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^a={F_x}^a. \]

Eksempler på anvendelse af disse formler kan findes i artiklerne om lineær vækst, eksponentiel vækst og potensvækst.