Find forskrift for en potensudvikling

Hvis man kender to forskellige punkter \((x_1,y_1)\) og \((x_2,y_2)\) på grafen for en potens­ud­vik­ling, så er funktionen entydigt bestemt. Det er med andre ord muligt at bestemme en forskrift for en potens­ud­vik­ling, når vi kender to punkter på grafen. En potens­ud­vik­ling har jo forskriften \(f(x)=bx^a\), og hvis de to kendte punkter er \((x_1,y_1)\) og \((x_2,y_2)\) så er det muligt at bestemme konstanterne \(a\) og \(b\) ved hjælp af formlerne \[ a=\frac{\ln(y_2)-\ln(y_1)}{\ln(x_2)-\ln(x_1)} \] og \[ b=\frac{y_1}{x_1^a}. \]

Beviset er ikke særlig svært. Vi starter med at bemærke, at \(x_1\), \(y_1\), \(x_2\) og \(y_2\) alle er positive, da både definitionsmængde og værdimængde for en potensudvikling er inde­holdt i de positive reelle tal. Desuden er \(x_1\ne x_2\), da vi havde forudsat, at der var tale om to forskellige punkter. Ifølge vækstformlen for potensudviklinger gælder der \[ \frac{y_2}{y_1}=\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^a. \] Ved at tage logaritmen på begge sider (hvilket er tilladt, da begge sider er positive) og benytte logaritmeregnereglen \(\ln\left(x^a\right)=a\ln(x)\) får vi \[ \ln\left(\frac{y_2}{y_1}\right)=a\cdot\ln\left(\frac{x_2}{x_1}\right). \] Da \(x_1\ne x_2\), er \(\ln\left(\frac{x_2}{x_1}\right)\ne 0\), og vi kan derfor dividere igennem med \(\ln\left(\frac{x_2}{x_1}\right)\). Ved at benytte logaritmeregnereglen \(\ln\left(\frac{x_2}{x_1}\right)=\ln(x_2)-\ln(x_1)\) og den samme regel med \(y\) i stedet for \(x\) får vi \[ a=\frac{\ln\left(\frac{y_2}{y_1}\right)}{\ln\left(\frac{x_2}{x_1}\right)}=\frac{\ln(y_2)-\ln(y_1)}{\ln(x_2)-\ln(x_1)} \] som ønsket. Da \((x_1,y_1)\) er et punkt på grafen, er \(y_1=bx_1^a\), hvilket kan omkskrives til \[ b=\frac{y_1}{x_1^a}. \]

Lad os se på et eksempel. Vi ønsker at finde potensudviklingen, hvis graf går gennem punkterne \(\left(1,\frac{1}{2}\right)\) og \((4,4)\). Først finder vi \(a\) ved at sætte ind i formlen: \[ a=\frac{\ln(y_2)-\ln(y_1)}{\ln(x_2)-\ln(x_1)}=\frac{\ln(4)-\ln(1/2)}{\ln(4)-\ln(1)}=\frac{3}{2}. \] Dernæst sætter vi ind i formlen for \(b\): \[ b=\frac{y_1}{x_1^a}=\frac{1/2}{1^{3/2}}=\frac{1}{2}. \] Dermed har vi vist, at potensudviklingen er givet ved \(y=\frac{1}{2}x^{3/2}\). Nedenfor ses grafen og de to punkter.