Logaritmer

For et vilkårligt positivt tal \(a\), der ikke er \(1\), findes der en funktion \(\log_a:\Bbb{R}_+\to\Bbb{R}\) med den egenskab, at \[ \log_a(a^y)=y \] for alle reelle tal \(y\). Denne funktion kaldes logaritmen med grundtal \(a\).

Antag for eksempel, at \(a=2\). Da \(2^2=4\), er \[ \log_{2}(4)=\log_{2}(2^2)=2. \] Tilsvarende gælder der \[ \log_{2}(8)=\log_{2}(2^3)=3. \] og \[ \log_{2}(16)=\log_{2}(2^4)=4. \] Da \(2^1=2\), er \[ \log_{2}(2)=\log_{2}(2^1)=1. \] Hvordan finder man logaritmen af \(1\)? Det er ikke svært. Der gælder jo \(2^0=1\), hvorfor \[ \log_{2}(1)=\log_{2}(2^0)=0. \] Vi kan også beregne \(\log_2\left(\frac{1}{8}\right)\). Der gælder jo \(2^{-3}=\frac{1}{8}\), og dermed er \[ \log_{2}\left(\frac{1}{8}\right)=\log_{2}(2^{-3})=-3. \] På samme måde finder vi \[ \log_{2}\left(\frac{1}{4}\right)=\log_{2}(2^{-2})=-2. \] og \[ \log_{2}\left(\frac{1}{2}\right)=\log_{2}(2^{-1})=-1. \]

I koordinatsystemet nedenfor har vi afsat sammenhørende værdier af \(x\) og \(\log_2(x)\).

Ved at forbinde punkterne med en blød kurve finder vi grafen for \(\log_2\), hvilket ses nedenfor. Vi har også indtegnet grafen for funktionen \(f(x)=2^x\), der jo er eksponentialfunktionen med grundtal \(2\). De to funktioner er hinandens omvendte funktioner, hvilket betyder, at de to grafer spejles i linjen \(y=x\) (indtegnet stiplet).

Alment gælder der, at \(\log_a\) er den omvendte funktion til eksponentialfunktionen \(f(x)=a^x\). For \(a<1\) er \(\log_a\) en aftagende funktion, og for \(a>1\) er \(\log_a\) en voksende funktion.

Prøv at løse de følgende opgaver. Svarene kan ses her.

\(\log_4\left(64\right)\)
\(\log_8\left(64\right)\)
\(\log_5\left(125\right)\)
\(\log_5\left(625\right)\)
\(\log_6\left(1296\right)\)
\(\log_3\left(729\right)\)
\(\log_2\left(512\right)\)
\(\log_3\left(\frac{1}{27}\right)\)
\(\log_9\left(\frac{1}{81}\right)\)
\(\log_3\left(\frac{1}{81}\right)\)
\(\log_2\left(\frac{1}{16}\right)\)
\(\log_2\left(\frac{1}{64}\right)\)
\(\log_{11}\left(\frac{1}{1331}\right)\)
\(\log_2\left(0.015625\right)\)
\(\log_5\left(0.0016\right)\)

Klik på emnerne nedenfor for at læse mere.

Logaritmeregneregler: Logaritmer kan simplificere nogle beregninger. For eksempel kan logaritmer lave gange om til plus, dividere om til minus og potensopløftning om til gange.
Den naturlige logaritme: Alle andre logaritmefunktioner kan skrives som en konstant gange den naturlige logaritme. Funktionen indgår også i definitionen af potensopløftning med ikke hel eksponent.
Titalslogaritmen: Det er nemt at finde heltalsdelen af titalslogaritmen til et tal. Mange anvendelser af logaritmer bruger titalslogaritmen. I gamle dage brugte man logaritmetabeller til beregninger.
Logaritmisk skala og logaritmepapir: Når man har et stort spænd i værdier, kan en logaritmisk skala være en fordel. Logaritmepapir har en logaritmisk inddeling på den ene eller begge akser.