Logaritmisk skala og logaritmepapir

Vi ved alle, hvordan en lineær skala ser ud:

Der er altid samme afstand mellem mærkerne, og man kan have både positive og negative værdier. En lineær skala har den egenskab, at hver gang man lægger det samme tal til, så er der samme afstand på skalaen. For eksempel er der samme afstand mellem \(-4\) og \(-2\), som der er mellem \(3\) og \(5\), for i begge tilfælde lægger vi \(2\) til.

Der er også noget, der hedder en logaritmisk skala. Det går ud på, at man vælger en logaritme (dvs. vælger grundtallet), og så placeres hver værdi på den logaritmiske skala ved logaritmen til værdien. Det kan se således ud:

Da det ikke er muligt at tage logaritmen til nul eller et negativt tal, er det kun muligt at have en logaritmisk skala, hvis alle værdier er positive. En logaritmisk skala har den egenskab, at hver gang man ganger med det samme tal, så er der samme afstand på skalaen. For eksempel er der samme afstand mellem \(1\) og \(2\), som der er mellem \(3\) og \(6\), for i begge tilfælde ganger vi med \(2\). Populært sagt så er en lineær skala en plus-skala, mens en logaritmisk skala er en gange-skala.

Der er ikke noget i vejen for at udvide skalaen ovenfor mod højre, men jo større tallene bliver, jo tættere kommer de til at ligge. Da der er samme afstand, hver gang vi laver en fordobling, vil der være lige så meget plads mellem \(12\) og \(24\), som der er mellem \(6\) og \(12\). Hvis vi skulle udvide op til \(24\), ville vi måske vælge kun at afsætte nogle af tallene.

Man kan også sagtens udvide skalaen ovenfor mod venstre. Afstanden mellem \(1\) og \(2\) er som sagt fordoblingsafstanden. Hvis vi går mod venstre, svarer det til en halvering. Vi kan derfor gå denne afstand til venstre for \(1\) og afsætte \(\frac{1}{2}\). Hvis vi går samme afstand en gang til, kan vi afsætte \(\frac{1}{4}\), og hvis vi gør det en tredje gang, kan vi afsætte \(\frac{1}{8}\). Sådan kan vi blive ved. Vi kan komme så tæt på nul, det skal være, men vi når aldrig nul, uanset hvor langt mod venstre vi går.

Hvad er fordelen ved en logaritmisk skala sammenlignet med en lineær skala? Det er, at en logaritmisk skala tillader et meget større spænd af værdier. Man kan have meget store værdier og meget små værdier på den samme skala, uden at det går ud over evnen til at skelne mellem de små værdier. Det skyldes, at der så at sige er mere plads i venstre side af skalaen. I skemaet nedenfor sammenligner vi lineær skala og logaritmisk skala.

Et eksempel på en logaritmisk skala ses i kemi, hvor man kan angive en opløsnings surhedsgrad (om den er basisk eller sur) ud fra koncentrationen af oxoniumioner \(\text{H}_3\text{O}^+\) i opløsningen. Definitionen af pH er \[ \text{pH}=-\log_{10}\left(\left[\text{H}_3\text{O}^+\right]\right) \] Herved fås en skala, der går fra \(0\) til \(14\). Lav pH svarer til, at opløsningen er sur, og høj pH betyder, at opløsningen er basisk. Grunden til, at man anvender en logaritmisk skala her, er, at det er mere bekvemt at operere med en skala, der går der går fra \(0\) til \(14\), end en skala, der går fra \(1\) til \(0.00000000000001\).

Et andet eksempel er Richter-skalaen, der bruges til at måle styrken af jordskælv. Denne skala er også baseret på titalslogaritmen. Hvis man således går fra et jordskælv, der måler 6 på Richter-skalaen til et, der måler 7, vil man forvente ti gange så store ødelæggelser.

Det er ikke tilfældigt, at begge eksempler bruger titalslogaritmen. Det hænger sammen med, at vores talsystem er titalssystemet. Når man konstruerer en logaritmisk skala, vil man ofte vælge at lade den gå fra en heltalspotens af \(10\) til en anden heltalspotens af \(10\). For eksempel kan vi vælge at lade skalaen gå fra \(10^{-3}=0.001\) til \(10^{-1}=0.1\):

Hver gang vi ganger med \(10\), er der samme afstand. Der er derfor samme afstand mellem \(0.001\) og \(0.01\), som der er mellem \(0.01\) og \(0.1\). Vi siger, at skalaen består af to dekader. En dekade betyder antal af ti. Inden for hver dekade er der det samme antal inddelinger. Nedenfor ses en logaritmisk skala, der dækker tre dekader. Den løber fra \(100\) til \(100\,000\).

I et koordinatsystem kan man benytte en logaritmisk skala på en eller begge akser. Den simple løsning er selv at tage logaritmen til den ene eller begge variable. Der findes dog også specielt logaritmepapir, der minder om millimeterpapir, bortset fra at der er en logaritmisk inddeling på den ene eller begge akser. Hvis der kun er logaritmisk inddeling på den ene akse, taler man om semilogaritmisk papir (eller enkeltlogaritmisk papir). Hvis der logaritmisk inddeling på begge akser, taler man om dobbeltlogaritmisk papir. Figuren nedenfor viser semilogaritmisk papir.

En funktion er en eksponentiel udvikling, hvis og kun hvis grafen bliver en ret linje på et semilogaritmisk papir med den logaritmiske inddeling på \(y\)-aksen. En funktion er en potensudvikling, hvis og kun hvis grafen bliver en ret linje på et dobbeltlogaritmisk papir.