Betydning af konstanterne for en potensudvikling

En potensudvikling er som bekendt en funktion af formen \(f(x)=bx^a\), hvor \(a\in\Bbb{R}\) og \(b\in\Bbb{R}_+\). Der gælder med andre ord, at \(a\) er en vilkårlig konstant, mens \(b\) er en positiv konstant.

Funktionerne \(f_1(x)=2x^{-1/2}\), \(f_2(x)=2x^{1/2}\) og \(f_3(x)=4x^{-1/2}\) er alle potensudviklinger. For \(f_1\) er \(a=-\frac{1}{2}\) og \(b=2\), for \(f_2\) er \(a=\frac{1}{2}\) og \(b=2\) og for \(f_3\) er \(a=-\frac{1}{2}\) og \(b=4\). Nedenfor ses graferne for \(f_1\), \(f_2\) og \(f_3\). Grafen for \(f_1\) er blå, grafen for \(f_2\) er grøn og grafen for \(f_3\) er rød.

Konstanterne \(a\) og \(b\) har betydning for grafens udseende. Konstanten \(b\) er lig med funktionens værdi i \(x=1\). Der gælder nemlig \[ f(1)=b\cdot 1^a=b\cdot 1=b. \] En anden måde at sige det samme på er, at grafen for \(f\) går gennem punktet \((1,b)\). Således går graferne for \(f_1\) og \(f_2\) gennem punktet \((1,2)\), mens grafen for \(f_3\) går gennem punktet \((1,4)\). Da en potensfunktion har \(b=1\), går grafen for en potensfunktion gennem punktet \((1,1)\).

Konstanten \(a\) har betydning for om funktionen er voksende, konstant eller aftagende. Funktionen er aftagende for \(a\lt 0\), konstant for \(a=0\) og voksende for \(a\gt 0\). Funktionerne \(f_1\) og \(f_3\) er således aftagende, mens \(f_2\) er voksende.

For at få en bedre fornemmelse for, hvad \(a\) betyder for grafens udsende, kigger vi nu på graferne for nogle potensfunktioner (dvs. potensudviklinger med \(b=1\)). Figuren nedenfor viser graferne for fem aftagende potensfunktioner, idet de alle har et negativt \(a\). Det drejer sig om funktionerne bestemt ved \(y=x^{-4}\), \(y=x^{-2}\), \(y=x^{-1}\), \(y=x^{-1/2}\) og \(y=x^{-1/4}\).

Som tidligere nævnt går alle graferne gennem punktet \((1,1)\). Det ses, at jo længere \(a\) er fra \(0\), jo mere lodret er grafen i \((1,1)\), og jo nærmere \(a\) er ved \(0\), jo mere vandret er grafen i \((1,1)\). Med differentialregning er det nemt at forklare, hvorfor det forholder sig således.

Hvis \(a=0\), så er funktionen konstant, idet \(x^0=1\). Nedenfor ses grafen for potensfunktionen bestemt ved \(y=x^{0}\).

Endelig ser vi på eksempler med \(a\gt 0\), hvilket altid giver en voksende funktion. Nedenfor ses graferne for potensfunktionerne bestemt ved \(y=x^{1/4}\), \(y=x^{1/2}\), \(y=x^{1}\), \(y=x^{2}\) og \(y=x^{4}\). Da \(x^1=x\), kan den midterste funktion også skrives \(y=x\). Igen ser vi, at jo nærmere \(a\) er ved \(0\), jo mere vandret er grafen i \((1,1)\), og jo længere \(a\) er fra \(0\), jo mere lodret er grafen i \((1,1)\).