Betydning af konstanterne for en lineær funktion

En lineær funktion er en funktion af formen \(f(x)=ax+b\), hvor \(a\) og \(b\) er vilkårlige konstanter. Eksempler på lineære funktioner er \(f_1(x)=\frac{1}{4}x-1\), \(f_2(x)=-x+2\) og \(f_3(x)=\frac{1}{4}x+2\). For \(f_1\) er \(a=\frac{1}{4}\) og \(b=-1\), for \(f_2\) er \(a=-1\) og \(b=2\) og for \(f_3\) er \(a=\frac{1}{4}\) og \(b=2\). Nedenfor ses graferne for \(f_1\), \(f_2\) og \(f_3\). Grafen for \(f_1\) er blå, grafen for \(f_2\) er grøn og grafen for \(f_3\) er rød.

Konstanterne \(a\) og \(b\) har betydning for grafens udseende. Konstanten \(b\) er lig med funktionens værdi i \(x=0\). Der gælder nemlig \[ f(0)=a\cdot 0+b=0+b=b. \] En anden måde at sige det samme på er, at grafen går gennem punktet \((0,b)\). Dette punkt ligger på \(y\)-aksen, så \(b\) angiver altså, hvor grafen skærer \(y\)-aksen. Således skærer grafen for \(f_1\) \(y\)-aksen i \(-1\), mens graferne for \(f_2\) og \(f_3\) skærer \(y\)-aksen i \(2\).

Betydningen af konstanten \(a\) er, at hver gang vi lægger \(1\) til \(x\), så skal vi lægge \(a\) til \(y\). Der gælder nemlig \[ f(x+1)=a\cdot(x+1)+b=ax+a+b=ax+b+a=f(x)+a. \] Nedenfor ses grafen for \(f(x)=3x-1\). Her er \(a=3\), og det betyder, at hver gang vi lægger \(1\) til \(x\), så skal vi lægge \(3\) til \(y\).

Tallet \(a\) kaldes hældningskoefficienten, idet tallet fortæller, hvor meget den rette linje hælder. Hvis \(a=0\), så er funktionen konstant, og grafen er en vandret linje. Hvis \(a>0\), så er funktionen voksende. Jo større \(a\), jo mere stejl er den rette linje. Hvis \(a<0\), så er funktionen aftagende. Igen gælder der, at jo længere \(a\) er fra nul, jo mere stejl er den rette linje. Nedenfor ses graferne for funktionerne bestemt ved \(y=-4x-1\), \(y=-2x-1\), \(y=0x-1\), \(y=2x-1\) og \(y=4x-1\). Da \(0x-1=-1\), kan den midterste funktion også skives \(y=-1\).